Math

本小节总结一些与数学（尤其是数论部分）有关的基础，主要总结了《挑战程序设计竞赛》第二章。

最大公约数(GCD, Greatest Common Divisor)

常用的方法为辗转相除法，也称为欧几里得算法。不妨设函数gcd(a, b)是自然是a, b的最大公约数，不妨设a > b, 则有 $a = b \times p + q$, 那么对于gcd(b, q)则是b和q的最大公约数，也就是说gcd(b, q)既能整除b, 又能整除a(因为 $a = b \times p + q$, p是整数)，如此反复最后得到gcd(a, b) = gcd(c, 0), 第二个数为0时直接返回c. 如果最开始a < b, 那么gcd(b, a % b) = gcd(b, a) = gcd(a, b % a).

关于时间复杂度的证明：可以分a > b/2和a < b/2证明，对数级别的时间复杂度，过程略。

与最大公约数相关的还有最小公倍数(LCM, Lowest Common Multiple), 它们两者之间的关系为 $lcm(a, b) \times gcd(a, b) = |ab|$.

Java

public static long gcd(long a, long b) {
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

Problem

给定平面上两个坐标 P1=(x1, y1), P2=(x2,y2), 问线段 P1P2 上除 P1, P2以外还有几个整数坐标点？

Solution

问的是线段 P1P2, 故除 P1,P2以外的坐标需在 x1,x2,y1,y2范围之内，且不包含端点。在两端点不重合的前提下有：

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 那么若得知 $M = gcd(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, 则有 $x - x_1$ 必为 $x_2 - x_1 / M$ 的整数倍大小，又因为 $x_1 < x < x_2$, 故最多有 $M - 1$个整数坐标点。

扩展欧几里得算法

求解整系数 $x$ 和 $y$ 满足 $d = gcd(a, b) = ax + by$, 仿照欧几里得算法，应该要寻找 $gcd(b, a \% b) = bx^\prime + (a \% b)y^\prime$.

Java

public class Solution {
    public static int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }

    public static int[] gcdExt(int a, int b) {
        if (b == 0) {
            return new int[] {a, 1, 0};
        } else {
            int[] vals = gcdExt(b, a % b);
            int d = vals[0];
            int x = vals[2];
            int y = vals[1];
            y -= (a / b) * x;
            return new int[] {d, x, y};
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a = 4, b = 11;
        int[] result = gcdExt(a, b);
        System.out.printf("d = %d, x = %d, y = %d.\n", result[0], result[1], result[2]);
    }
}

Problem

求整数 $x$ 和 $y$ 使得 $ax+by=1$.

Solution

不妨设gcd(a, b) = M, 那么有 $M(a^\prime x+b^\prime y)=1$ ==> $a^\prime x+b^\prime y=1/M$ 如果 M 大于1，由于等式左边为整数，故等式不成立，所以要想题中等式有解，必有gcd(a, b) = 1.

扩展提：题中等式右边为1，假如为2又会怎样？

提示：此时$c = k \cdot gcd(a, b), x^\prime = k\cdot x ==> c\ \%\ gcd(a, b) == 0$, c 为等式右边的正整数值。详细推导见 How to find solutions of linear Diophantine ax + by = c?