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Sqrt x

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题解 - 二分搜索

由于只需要求整数部分,故对于任意正整数 xx, 设其整数部分为 kk, 显然有 1kx1 \leq k \leq x, 求解 kk 的值也就转化为了在有序数组中查找满足某种约束条件的元素,显然二分搜索是解决此类问题的良方。

Python

class Solution:
    # @param {integer} x
    # @return {integer}
    def mySqrt(self, x):
        if x < 0:
            return -1
        elif x == 0:
            return 0

        start, end = 1, x
        while start + 1 < end:
            mid = start + (end - start) / 2
            if mid**2 == x:
                return mid
            elif mid**2 > x:
                end = mid
            else:
                start = mid

        return start

源码分析

  1. 异常检测,先处理小于等于0的值。
  2. 使用二分搜索的经典模板,注意不能使用start < end, 否则在给定值1时产生死循环。
  3. 最后返回平方根的整数部分start.

二分搜索过程很好理解,关键是最后的返回结果还需不需要判断?比如是取 start, end, 还是 mid? 我们首先来分析下二分搜索的循环条件,由while循环条件start + 1 < end可知,startend只可能有两种关系,一个是end == 1 || end ==2这一特殊情况,返回值均为1,另一个就是循环终止时start恰好在end前一个元素。设值 x 的整数部分为 k, 那么在执行二分搜索的过程中 startkend start \leq k \leq end 关系一直存在,也就是说在没有找到 mid2==xmid^2 == x 时,循环退出时有 start<k<endstart < k < end, 取整的话显然就是start了。

复杂度分析

经典的二分搜索,时间复杂度为 O(logn)O(\log n), 使用了start, end, mid变量,空间复杂度为 O(1)O(1).

除了使用二分法求平方根近似解之外,还可使用牛顿迭代法进一步提高运算效率,欲知后事如何,请猛戳 求平方根sqrt()函数的底层算法效率问题 -- 简明现代魔法,不得不感叹算法的魔力!