Heap - 堆

一般情况下，堆通常指的是二叉堆，二叉堆是一个近似完全二叉树的数据结构，即披着二叉树羊皮的数组，故使用数组来实现较为便利。子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点，且每个节点的左右子树又是一个二叉堆(大根堆或者小根堆)。根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常被用作实现优先队列。

特点

1. 以数组表示，但是以完全二叉树的方式理解。
2. 唯一能够同时最优地利用空间和时间的方法——最坏情况下也能保证使用 $2N \log N$ 次比较和恒定的额外空间。
3. 在索引从0开始的数组中：
   • 父节点 i 的左子节点在位置(2*i+1)
   • 父节点 i 的右子节点在位置(2*i+2)
   • 子节点 i 的父节点在位置floor((i-1)/2)

堆的基本操作

以大根堆为例，堆的常用操作如下。

1. 最大堆调整（Max_Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
2. 创建最大堆（Build_Max_Heap）：将堆所有数据重新排序
3. 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

其中步骤1是给步骤2和3用的。

Python

class MaxHeap:
    def __init__(self, array=None):
        if array:
            self.heap = self._max_heapify(array)
        else:
            self.heap = []

    def _sink(self, array, i):
        # move node down the tree
        left, right = 2 * i + 1, 2 * i + 2
        max_index = i
        if left < len(array) and array[left] > array[max_index]:
            max_index = left
        if right < len(array) and array[right] > array[max_index]:
            max_index = right
        if max_index != i:
            array[i], array[max_index] = array[max_index], array[i]
            self._sink(array, max_index)

    def _swim(self, array, i):
        # move node up the tree
        if i == 0:
            return
        father = (i - 1) / 2
        if array[father] < array[i]:
            array[father], array[i] = array[i], array[father]
            self._swim(array, father)

    def _max_heapify(self, array):
        for i in xrange(len(array) / 2, -1, -1):
            self._sink(array, i)
        return array

    def push(self, item):
        self.heap.append(item)
        self._swim(self.heap, len(self.heap) - 1)

    def pop(self):
        self.heap[0], self.heap[-1] = self.heap[-1], self.heap[0]
        item = self.heap.pop()
        self._sink(self.heap, 0)
        return item